Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями

Прибор для сравнения чисел  log<i>_ab</i>  и  log<i>_cd</i>  (<i>a, b, c, d</i> > 1)  работает по правилам: если  <i>b > a</i>  и  <i>d > c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_a^b</i>/_<i>a</i>  и  log<i>_c^d</i>/_<i>c</i>  если  <i>b < a</i>  и  <i>d < c</i>,  то он переходит к сравнению чисел  log<i>_dc</i>  и  log<i>_ba</i>;  если  (<i>b − a</i>)(<i>d − c</i>) ≤ 0,  т...

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади<i>P</i>₁,<i>P</i>₂,<i>P</i>₃,<i>P</i>₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре<i>P</i>₁≤<i>P</i>₂+<i>P</i>₃+<i>P</i>₄; б) если<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄— площади соответствующих граней тетраэдра, то<i>P</i>₁<i>S</i><sub&gt...

Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.

Найдите углы выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>, в котором$\angle$<i>BAC</i>= 30^<tt>o</tt>,$\angle$<i>ACD</i>= 40^<tt>o</tt>,$\angle$<i>ADB</i>= 50^<tt>o</tt>,$\angle$<i>CBD</i>= 60^<tt>o</tt>и$\angle$<i>ABC</i> + $\angle$<i>ADC</i> = 180^<tt>o</tt>.

Требуется заполнить числами квадратную таблицу из <i>n</i>×<i>n</i> клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из  4<i>n</i> – 2  диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при

  а)  <i>n</i> = 55?

  б)  <i>n</i> = 1992?

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.

Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?

Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.