Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 4-9 класса - сложность 3 с решениями

Диагональ <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i> равна боковой стороне <i>CD</i>. Прямая, симметричная <i>BD</i> относительно <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>E</i>.

Докажите, что прямая <i>AB</i> делит отрезок <i>DE</i> пополам.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.

Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?

От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?

Докажите, что если сумма косинусов углов четырёхугольника равна нулю, то он — параллелограмм, трапеция или вписанный четырёхугольник.

Можно ли <i>n</i> раз рассадить  2<i>n</i> + 1  человека за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если  а)  <i>n</i> = 5;  б)  <i>n</i> = 10?

В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?

Каких нечётных натуральных чисел  <i>n</i> < 10000  больше: тех, для которых число, образованное четырьмя последними цифрами числа <i>n</i>⁹, больше <i>n</i>, или тех, для которых оно меньше <i>n</i>?

Можно ли четыре раза рассадить девять человек за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза?

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?