Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 3-4 с решениями

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> AA</i>1– медиана,<i> AA</i>2– биссектриса,<i> K </i>– такая точка на<i> AA</i>1, для которой<i> KA</i>2<i> || AC </i>. Докажите, что<i> AA</i>2<i> <img src="/storage/problem-media/108188/problem_108188_img_2.gif"> KC </i>.

Доказать, что существует бесконечно много таких составных <i>n</i>, что  3^<i>n</i>–1 – 2^<i>n</i>–1 кратно <i>n</i>.

Для какого наибольшего<i>n</i>можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности<i>A</i>и<i>B</i>такие, что любой кусок последовательности<i>B</i>длиной<i>n</i>содержится в<i>A</i>,<i>A</i>имеет период 1995, а<i>B</i>этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?<font size="-1">Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.</font>

Разрезать отрезок  [–1, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы интегралы от любой  а) линейной функции;  б) квадратного трёхчлена по белым и чёрным отрезкам были равны.