Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 9 класса - сложность 3-4 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> и точка <i>O</i> внутри него. Известно, что  ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i> = 120°,  <i>AO = OB</i>  и  <i>CO = OD</i>.  Пусть <i>K, L</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что

  а)  <i>KL = LM</i>;

  б) треугольник <i>KLM</i> – правильный.

Несколько населённых пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населённых пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.