Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 2-5 с решениями

Точки <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ..., <i>P</i>_<i>n</i>–1 делят сторону <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> на <i>n</i> равных частей:  <i>BP</i>₁ = <i>P</i>₁<i>P</i>₂ = ... = <i>P</i>_<i>n</i>–l<i>C</i>.  Точка <i>M</i> выбрана на стороне <i>AC</i> так, что  <i>AM = BP</i>₁. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/108681/problem_108681_img_2.gif"></div>Докажите,...

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> с натуральными коэффициентами найдется такое целое число <i>k</i>, что числа  <i>P</i>(<i>k</i>),  <i>P</i>(<i>k</i> + 1),  ...,

<i>P</i>(<i>k</i> + 1996)  будут составными, если

  а)  <i>n</i> = 1;

  б)  <i>n</i> – произвольное натуральное число.

  В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона:

    1. Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей.

    2. Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей.

  В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

В углу шахматной доски размером <i>m×n</i> полей стоит ладья. Двое по очереди передвигают её по вертикали или по горизонтали на любое число полей; при этом не разрешается, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала (или через которое уже проходила). Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто из играющих может обеспечить себе победу: начинающий или его партнер, и как ему следует играть?

В клетчатом квадрате10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата, нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>².  Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.