Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 8 класса - сложность 2-5 с решениями

Точка <i>X</i>, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из <i>X</i> к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел <i>n</i>, что число <i>n</i> представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа  <i>n</i> – 1  и  <i>n</i> + 1  – нет.

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² – <i>ab = c</i>².  Докажите, что (<i>a – c</i>)(<i>b – c</i>) ≤ 0.