Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 3 с решениями

На сторонах<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> C' </i>,<i> A' </i>и<i> B' </i>соответственно. Докажите, что площадь треугольника<i> A'B'C' </i>равна <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108170/problem_108170_img_2.gif">,

</i></center> где<i> R </i>– радиус описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

Положительные числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> таковы, что  <i>abc</i> = 1.  Докажите неравенство <div align="CENTER"> <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_2.gif"> + <img width="68" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_3.gif"> + <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_4.gif"> ≤ 1. </div>

Вычислите$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$.