Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 4-8 класса

В неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены медианы<i> AK </i>и<i> BL </i>. Углы<i> BAK </i>и<i> CBL </i>равны30<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> ABC </i>.

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют равенству  <i>x + y + z</i> – 2(<i>xy + yz + xz</i>) + 4<i>xyz</i> = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Натуральные числа от 1 до <i>n</i> расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется <i>плохой</i>, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются <i>хорошими</i>. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81^<i>n</i>.