Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 3-5 с решениями

В неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены медианы<i> AK </i>и<i> BL </i>. Углы<i> BAK </i>и<i> CBL </i>равны30<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> ABC </i>.

Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150°? При этом:

  для простоты шестёренки считаются кругами;

  шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности в точке соприкосновения имеют общую касательную;

  угол между сцепленными шестерёнками – это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;

  первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая – с третьей, и т. д., 61-я – с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.

Решите в натуральных числах уравнение  3^<i>x</i> + 4^<i>y</i> = 5^<i>z</i>.

Про непрерывную функцию<i>f</i>известно, что:<ol> <li><i>f</i> определена на всей числовой прямой; </li> <li><i>f</i> в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график <i>f</i> в каждой точке имеет единственную касательную); </li> <li>график функции <i>f</i> не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна. </li> </ol> Следует ли отсюда, что график <i>f</i> — прямая?

Числа <i>x, y, z</i> удовлетворяют равенству  <i>x + y + z</i> – 2(<i>xy + yz + xz</i>) + 4<i>xyz</i> = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Натуральные числа от 1 до <i>n</i> расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется <i>плохой</i>, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются <i>хорошими</i>. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81^<i>n</i>.