Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

В прямоугольном треугольнике<i> ABC </i>точка<i> O </i>– середина гипотенузы<i> AC </i>. На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> M </i>, а на отрезке<i> BC </i>– точка<i> N </i>, причём угол<i> MON </i>– прямой. Докажите, что<i> AM</i>2<i>+CN</i>2<i> = MN</i>2.

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа  <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>²  и  <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>²  являются полными квадратами.

Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).

Сравнив дроби  ¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁,  ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃,  ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄,  расположите их в порядке возрастания.