Олимпиадные задачи из источника «2002 год» для 5-8 класса - сложность 3-5 с решениями
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC, O<sub>A</sub>, O<sub>B</sub>, O<sub>C</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>BC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub>, <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> соответственно; <i>T<sub>A</sub>, T<sub>B</sub>, T<sub>C</sub></i> – точки касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со сторо...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> являются серединами сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE, AF</i> и <i>EF</i> делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника <i>ABD</i>?
Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную около него окружность в точках<i> E </i>и<i> D </i>соответственно. Отрезок<i> DE </i>пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> F </i>и<i> G </i>. Пусть<i> I </i>– точка пересечения биссектрис треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что четырёхугольник<i> BFIG </i>– ромб.
В треугольнике<i> ABC </i>медианы<i> AD </i>и<i> BE </i>пересекаются в точке<i> M </i>. Докажите, что если угол<i> AMB </i>а) прямой; б) острый, то<i> AC+BC ></i>3<i>AB </i>.
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
В ряд расположили <i>n</i> лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких <i>n</i> можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?
В клетчатом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> каждая клетка может быть либо живой, либо мёртвой. Каждую минуту одновременно все живые клетки умирают, а те мёртвые, у которых было нечётное число живых соседей (по стороне), оживают.
Укажите все пары (<i>m, n</i>), для которых найдётся такая начальная расстановка живых и мёртвых клеток, что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно (то есть в каждый момент времени хотя бы одна клетка будет живой)?
Двое игроков по очереди выставляют на доску 65×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии (горизонтали или вертикали) не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто выигрывает при правильной игре?