Олимпиадные задачи из источника «11 класс, вариант Б» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i>²<i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?

Числа<i>a</i>и<i>b</i>таковы, что первое уравнение системы <table align="center" border="0"> <tr> <td rowspan="2" valign="middle"><font size="+5">{</font></td> <td>cos <i>x</i>=<i>ax</i>+<i>b</i></td></tr> <tr><td>sin <i>x</i>+<i>a</i>=0</td></tr> </table> имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

С выпуклым четырехугольником<i>ABCD</i>проделывают следующую операцию: одну из данных вершин меняют на точку, симметричную этой вершине относительно серединного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту операцию последовательно применяют к вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>A</i>,<i>B,</i>... - всего<i>n</i>раз. Назовем четырехугольник допустимым, если его стороны попарно различны и после применения любого числа операций он остается выпуклым. Существует ли: а) допустимый четырехугольник, который после<i>n<</i>5 операций становится равным исходному; б) такое число<i>n</i>₀, ч...