Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 10-11 класса

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки <i>C</i>, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что отрезок <i>AB</i> перпендикулярен линии центров окружностей.

Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>P</i>, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников<i>PAB</i>,<i>PAC</i>,<i>PBC</i>и<i>ABC</i>, а также окружность, проходящая через проекции точки<i>P</i>на стороны треугольника<i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.

Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.