Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 9 класса

Каждую неделю Ваня получает ровно одну оценку ("3", "4" или "5") по каждому из семи предметов. Он считает неделю удачной, если количество предметов, по которым оценка улучшилась, превышает хотя бы на два количество предметов, по которым оценка ухудшилась. Оказалось, что <i>n</i> недель подряд были удачными, и в последнюю из них оценка по каждому предмету в точности совпала с оценкой первой недели. Чему могло равняться число <i>n</i>?

Девять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты?

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ – равнобедренные прямоугольные (стороны <i>AB</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ – гипотенузы). Известно, что <i>C</i>₁ лежит на <i>BC, B</i>₁ лежит на <i>AB</i>, а <i>A</i>₁ лежит на <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AA</i>₁ = 2<i>CC</i>₁.