Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 8-9 класса - сложность 2-4 с решениями

Учитель заполнил клетчатую таблицу 5×5 различными целыми числами и выдал по одной её копии Боре и Мише. Боря выбирает наибольшее число в таблице, затем вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее число из оставшихся, вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Миша производит аналогичные операции, каждый раз выбирая наименьшие числа. Может ли учитель так заполнить таблицу, что сумма пяти чисел, выбранных Мишей, окажется больше суммы пяти чисел, выбранных Борей?

Назовем <i>тропинкой</i> замкнутую траекторию на плоскости, состоящую из дуг окружностей и проходящую через каждую свою точку ровно один раз. Приведите пример тропинки и такой точки <i>M</i> на ней, что любая прямая, проходящая через <i>M, делит тропинку пополам</i>, то есть сумма длин всех кусков тропинки в одной полуплоскости равна сумме длин всех кусков тропинки в другой полуплоскости.

В выражении  (<i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)²⁰⁰⁶  раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.

Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> во внешнюю сторону построены равные прямоугольники <i>ABMN</i> и <i>LBCK</i> так, что  <i>AB = KC</i>.

Докажите, что прямые <i>AL, NK</i> и <i>MC</i> пересекаются в одной точке.

На олимпиаде <i>m>1</i> школьников решали <i>n>1</i> задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.

Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за <i>n</i> дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа <i>n</i> это возможно?