Олимпиадные задачи из источника «2007 год» для 8 класса - сложность 3 с решениями
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
В треугольник <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> вписана окружность, касающаяся сторон <i>AC, BC</i> и <i>AB</i> в точках <i>M, K</i> и <i>N</i> соответственно. Через точку <i>K</i> провели прямую, перпендикулярную отрезку <i>MN</i>. Она пересекла катет <i>AC</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>CK = AX</i>.
Выпуклая фигура <i>F</i> обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу <i>F</i>. Обязательно ли <i>F</i> – круг?
Треугольник<i> ABC </i>вписан в окружность с центром в<i> O </i>.<i> X </i>"– произвольная точка внутри треугольника<i> ABC </i>, такая, что<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XAB=<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XBC=ϕ </i>, а<i> P </i>– такая точка, что<i> PX<img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_3.gif"> OX </i>,<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP=ϕ </i>, причем углы<i> <img src="/storage/problem-media/109492/problem_109492_img_2.gif"> XOP </i>и<i> <img src="/...
Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109490/problem_109490_img_2.gif"> </div>
В таблице размера <i>n×n</i> клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?
Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.