Олимпиадные задачи из источника «2008 год» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.

Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок.

Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Найдите наименьшее натуральное<i>n</i>, для которого число<i>nⁿ</i>не является делителем числа 2008!.

Числа <i>p</i> и <i>q</i> таковы, что параболы  <i>y</i> = – 2<i>x</i>²  и  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.

Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.