Олимпиадные задачи из источника «2011 год» для 7-9 класса - сложность 3 с решениями
В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>b</i>.
а) Докажите, что если <i>k</i> = 2, то <i>a = b</i>.
б) В случае <i>k</i> = 3 приведите пример такой таблицы, для которой <i>a ≠ b</i>.
На доске выписано (<i>n</i> – 1)<i>n</i> выражений: <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x<sub>n</sub></i>, <i>x</i><sub>2</sub> – <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub> – <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x</i><sub>2</sub> – <i>x<sub>n</sub></i>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> – <i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub>, где <i>n</i&...
На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?
В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна <i>b</i>. Докажите, что <i>a = b</i>.
Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.
Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?