Докажите a = b в квадратной таблице — олимпиадная задача по алгебре для 7-9 классов

Решение 1:Пусть в таблице n строк. Возьмём в каждой строке по два наибольших числа и выпишем эти 2n чисел в порядке возрастания. Ввиду равенства сумм в пары входят первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. Отметим в таблице  n + 1  наибольших из выписанных чисел. По принципу Дирихле найдутся два отмеченных числа в одном столбце; их сумму обозначим через s. По условию,  s ≤ b.  С другой стороны, s не меньше суммы двух наименьших из отмеченных чисел, а это как раз центральная пара из выписанных чисел, и её сумма равна a. Значит,  a ≤ s ≤ b.  Аналогично доказывается, что  b ≤ a.

Решение 2:Пусть  a > b.  Числа в таблице, не меньшие ^a/₂,  назовём большими. В каждом столбце не больше одного большого числа. В каждой строке не меньше одного большого числа. Значит, всего в таблице не больше и не меньше чем n больших чисел, то есть их ровно n, причём в каждой строке и в каждом столбце – ровно по одному. Пусть x – наименьшее большое число. В его строке найдётся число  a – x,  которое не является большим. В столбце последнего найдётся большое число, оно не меньше x. Мы нашли столбец и два числа в нём, сумма которых не меньше a, то есть больше b. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует