Олимпиадные задачи из источника «2014 год» для 2-9 класса - сложность 3-5 с решениями
Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A</i><sub>10</sub>, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает <i>вдоль окружности</i> через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A</i><sub>9</sub>...
<i>Радикалом</i> натурального числа <i>N</i> (обозначается rad(<i>N</i>)) называется произведение всех простых делителей числа <i>N</i>, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел <i>A, B, C</i>, что <i>A + B = C</i> и <i>C</i> > 1000 rad(<i>ABC</i>)?
Дано <i>n</i> палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение <i>n</i>?
В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное <i>k</i>, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять <i>k</i> белых и <i>k</i> фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.
На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблока в каждом (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64712/problem_64712_img_2.gif"></div>Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда от них отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?
В городе Плоском нет ни одной башни. Для развития туризма жители города собираются построить несколько башен общей высотой в 30 этажей. Инспектор Высотников, поднимаясь на каждую башню, считает число более низких башен, а потом складывает получившиеся величины. После чего инспектор рекомендует город тем сильнее, чем получившаяся величина больше. Сколько и какой высоты башен надо построить жителям, чтобы получить наилучшую возможную рекомендацию?
На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)