Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льет дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что 1 января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В 2015 году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе 2015 года?
У Ивана-царевича есть два сосуда емкостью по 1 л, один из которых полностью заполнен обычной водой, а в другом находится <i>a</i> л живой воды,
0 < <i>a</i> < 1. Он может переливать только из сосуда в сосуд любой объем жидкости до любого уровня без переполнений и хочет за конечное число таких переливаний получить 40-процентный раствор живой воды в одном из сосудов. При каких значениях <i>a</i> Иван-царевич сможет это сделать? Считайте, что уровень жидкости в каждом из сосудов можно точно измерить в любой момент времени.
Какое наибольшее количество множителей вида <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65208/problem_65208_img_2.gif"> можно вычеркнуть в левой части уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65208/problem_65208_img_3.gif"> так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?
Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?
Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png"> было выполнено равенство |<i>ad – bc</i>| = 1.
Единичный квадрат разрезан на <i>n</i> треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
На основании <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> взяли произвольную точку <i>X</i>, а на боковых сторонах – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что <i>XPBQ</i> – параллелограмм. Докажите, что точка <i>Y</i>, симметричная точке <i>X</i> относительно <i>PQ</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на 20% и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?
Последовательность (<i>a</i><sub><i>n</i></sub>) такова, что <i>a<sub>n</sub> = n</i>² при 1 ≤ <i>n</i> ≤ 5 и при всех натуральных <i>n</i> выполнено равенство <i>a</i><sub><i>n</i>+5</sub> + <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a</i><sub><i>n</i>+4</sub> + <i>a<sub>n</sub></i>. Найдите <i>a</i><sub>2015</sub>.
Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?
Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить "да" или "нет". Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при эт...