Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 7-8 класса - сложность 2 с решениями

Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, что числа <i>n, n</i>², <i>n</i>³ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?

Будем называть натуральное число <i>почти квадратом</i>, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число.

Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?

Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре <i>различные</i> цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отметили точку <i>E</i> так, что  <i>CD = CE</i>.

Докажите, что прямая <i>DE</i> перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>AE</i> и <i>BC</i>.

Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?