Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 9 класса - сложность 2 с решениями
По целому числу <i>a</i> построим последовательность <i>a</i><sub>1</sub> = <i>a</i>, <i>a</i><sub>2</sub> = 1 + <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>3</sub> = 1 + <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>4</sub> = 1 + <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>, ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> – <i>a<sub>n</sub></i> – ква...
Точки <i>O</i> и <i>I</i> – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Две равные окружности касаются сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i>, <i>BC</i> соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке <i>K</i>. Оказалось, что <i>K</i> лежит на прямой <i>OI</i>. Найдите ∠<i>BAC</i>.
По кругу в некотором порядке расставлены все натуральные числа от 1 до 1000 таким образом, что каждое из чисел является делителем суммы двух своих соседей. Известно, что рядом с числом <i>k</i> стоят два нечётных числа. Какой чётности может быть число <i>k</i>?
Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, что числа <i>n, n</i>², <i>n</i>³ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?
Будем называть натуральное число <i>почти квадратом</i>, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число.
Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?
Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре <i>различные</i> цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отметили точку <i>E</i> так, что <i>CD = CE</i>.
Докажите, что прямая <i>DE</i> перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>AE</i> и <i>BC</i>.
Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя 2 минуты был ближе к первому фотографу, затем 3 минуты – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг?