Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 8-9 класса - сложность 2 с решениями
10 класс
НазадРешите уравнение в целых числах: <i>n</i><sup>4</sup> + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>².
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°.
Решите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что <i>P = Q</i>.
Внутри прямоугольного треугольника <i>АВС</i> выбрана произвольная точка <i>Р</i>, из которой опущены перпендикуляры <i>PK</i> и <i>РМ</i> на катеты <i>АС</i> и <i>ВС</i> соответственно. Прямые <i>АР</i> и <i>ВР</i> пересекают катеты в точках <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно. Известно, что <i>S<sub>APB'</sub></i> : <i>S<sub>KPB'</sub> = m</i>. Найдите <i>S<sub>MPA'</sub></i> : <i>S<sub>BPA'</sub></i>.
Найдите наименьшее положительное значение <i>x</i> + <i>y</i>, если (1 + tg <i>x</i>)(1 + tg <i>y</i>) = 2.
На доске записаны числа: 4, 14, 24, ... , 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть ещё два, потом – ещё три, и, наконец, стереть ещё четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?
Вокруг цилиндрической колонны высотой 20 метров и диаметра 3 метра обвита узкая лента, которая поднимается от подножия до вершины семью полными витками. Какова длина ленты?
Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116618/problem_116618_img_2.gif"> .
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.