Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 2 с решениями

Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

Рассматриваются все треугольники <i>АВС</i>, у которых положение вершин <i>В</i> и <i>С</i> зафиксировано, а вершина <i>А</i> перемещается в плоскости треугольника так, что медиана <i>СМ</i> имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка <i>А</i>?

Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, не превосходящих 2012, что сумма  1^<i>n</i> + 2^<i>n</i> + 3^<i>n</i> + 4^<i>n</i>  оканчивается на 0?

В прямоугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>А</i> равен 60°, <i>М</i> – середина гипотенузы <i>АВ</i>.

Найдите угол <i>IMA</i>, где <i>I</i> – центр окружности, вписанной в данный треугольник.

Найдите среднюю линию равнобокой трапеции, если ее диагональ равна 25, а высота равна 15.