Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 7-10 класса - сложность 2 с решениями
9 класс
НазадНа плоскости дан квадрат и точка <i>Р</i>. Могут ли расстояния от точки <i>Р</i> до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?
Имеется 200 гирек массами 1, 2, ..., 200 грамм. Их разложили на две чаши весов по 100 гирек на каждую, и весы оказались в равновесии. На каждой гирьке записали, сколько гирек на противоположной чаше легче неё. Докажите, что сумма чисел, записанных на гирьках левой чаши, равна сумме чисел, записанных на гирьках правой чаши.
Найдите значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_2.gif"> , если <i>а</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_3.gif">, <i>b</i> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/116454/problem_116454_img_4.gif">.
Известно, что выражения 4<i>k</i> + 5 и 9<i>k</i> + 4 при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение 7<i>k</i> + 4 при тех же значениях <i>k</i>?
Существует ли треугольник с вершинами в узлах сетки, у которого центры вписанной и описанной окружностей, точки пересечения высот и медиан также лежат в узлах сетки?
В клетках квадратной таблицы 5×5 расставлены числа 1 и –1. Известно, что строк с положительной суммой больше, чем с отрицательной.
Какое наибольшее количество столбцов этой таблицы может оказаться с отрицательной суммой?
Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал ⅕ общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал <sup>1</sup>/<sub>7</sub> часть от общего количества. Сколько было школьников?