Олимпиадные задачи из источника «2011/12» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Каждый узел бесконечной сетки покрашен в один из четырёх цветов так, что вершины каждого квадрата со стороной 1 окрашены в разные цвета. Верно ли, что узлы одной из прямых сетки окрашены только в два цвета? (Сетка образована горизонтальными и вертикальными прямыми. Расстояние между соседними параллельными прямыми равно 1.)

Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей <i>АD, ВЕ</i> и <i>CF</i> быть не меньше 2?

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>ВС</i>, <i>АС</i> и <i>АВ</i> в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Точка <i>K</i> – проекция точки <i>C'</i> на прямую <i>A'B'</i>. Докажите, что <i>KC'</i> – биссектриса угла <i>AKB</i>.