Олимпиадные задачи из источника «10 класс» - сложность 2 с решениями

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Прямоугольный параллелепипед размером <i>m</i>×<i>n</i>×<i>k</i> разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность,  <i>АС = а,  BD = b,  AB</i> ⊥ <i>CD</i>.  Найдите радиус окружности.

По положительным числам <i>х</i> и <i>у</i> вычисляют  <i>а</i> = ¹/_<i>y</i>  и  <i>b</i> = <i>y</i> + ¹/_<i>x</i>.  После этого находят <i>С</i> – наименьшее число из трёх: <i>x, a</i> и <i>b</i>.

Какое наибольшее значение может принимать <i>C</i>?

Найдите   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65173/problem_65173_img_2.gif">   если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65173/problem_65173_img_3.gif">.

Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.

Может ли полученное девятизначное число быть простым?

Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.

Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.