Олимпиадные задачи из источника «01 (2003 год)» - сложность 3-5 с решениями

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Дан треугольник <i>АВС.</i> Точка <i>О</i>₁ – центр прямоугольника <i>ВСDE</i>, построенного так, что сторона <i>DE</i> прямоугольника содержит вершину <i>А</i> треугольника. Точки <i>О</i>₂ и <i>О</i>₃ являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>АО</i>₁, <i>ВО</i>₂ и <i>СО</i>₃ пересекаются в одной точке.

В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – точка пересечения медиан, <i>O</i> – центр вписанной окружности, <i>A'</i>, <i>B'</i>, <i>C'</i> – точки ее касания со сторонами <i>BC</i>, <i>CA</i>, <i>AB</i> соответственно. Докажите, что, если <i>CA' </i>= <i>AB</i>, то прямые <i>OM</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.