Олимпиадные задачи из источника «08 (2010 год)» для 5-8 класса - сложность 2 с решениями
08 (2010 год)
НазадBыпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где <i>n</i> > 3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник вписанный?
Две окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним через точку <i>A</i> проводятся касательные <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub> (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки <i>B</i> на <i>l</i><sub>2</sub> и <i>l</i><sub>1</sub>, вторично пересекают окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> соответственно в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>A</i> и <i>N</i> лежат на одной прямо...
Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние ⅚ (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).
Два равносторонних треугольника <i>ABC</i> и <i>CDE</i> имеют общую вершину (см. рис). Найдите угол между прямыми <i>AD</i> и <i>BE</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116066/problem_116066_img_2.png"></div>