Олимпиадные задачи из источника «09 (2011 год)» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями

Один треугольник лежит внутри другого.

Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

Пусть <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>AB, M</i> – середина <i>AB</i>. Описанные окружности треугольников <i>AMA</i>₁ и <i>BMB</i>₁, пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что <i>K, M</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой.

B трапеции <i>ABCD</i>  <i>AB</i> = <i>BC</i> = <i>CD</i>,  <i>CH</i> – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>H</i> на <i>AC</i>, проходит через середину <i>BD</i>.

Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2.

Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.