Олимпиадные задачи из источника «15 (2017 год)» для 4-8 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что окружность, построенная на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона <i>AB</i> равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66141/problem_66141_img_2.gif"></div>

Точка <i>M</i> лежит на стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b</i>.

Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i>. В треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i> вписаны окружности с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂.

Докажите, что прямая <i>O</i>₁<i>O</i>₂ перпендикулярна <i>BC</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>AB = CK</i>.  Точки <i>N</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AK</i> и <i>BC</i> соответственно. Отрезки <i>NM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>KN = KP</i>.