Олимпиадные задачи из источника «16 (2018 год)» для 2-10 класса - сложность 2 с решениями

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>M</i>. В треугольнике <i>ACM</i> точка <i>I</i>₁ – центр вписанной, <i>J</i>₁ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. В треугольнике <i>BCM</i> точка <i>I</i>₂ – центр вписанной, <i>J</i>₂ центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>I</i>₁<i>I</i>₂ и <i>J</i>₁<i>J</i>₂ перп...

 Фиксированы окружность, точка <i>A</i> на ней и точка <i>K</i> вне окружности. Секущая, проходящая через <i>K</i>, пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что ортоцентры треугольников <i>APQ</i> лежат на фиксированной окружности.

Диагонали трапеции <i>ABCD</i> перпендикулярны. Точка <i>M</i> – середина боковой стороны <i>AB</i>, точка <i>N</i> симметрична центру описанной окружности треугольника <i>ABD</i> относительно прямой <i>AD</i>. Докажите, что ∠<i>CMN</i> = 90°.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> провели биссектрисы <i>AK</i> и <i>BN</i>, на которые опустили перпендикуляры <i>CD</i> и <i>CE</i> из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка <i>DE</i> равна радиусу вписанной окружности.

Даны треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > AC</i>) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги <i>BC</i> (не содержащей вершину <i>A</i>), проведя не более двух линий.

На продолжениях сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> за точки <i>A</i> и <i>B</i> соответственно отложены отрезки <i>AE = BC</i> и <i>BF = AC</i>. Окружность касается отрезка <i>BF</i> в точке <i>N</i>, стороны <i>BC</i> и продолжения стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>EF</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна биссектрисе угла <i>A</i>.

Биссектриса угла <i>C</i> и внешнего угла <i>A</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>B</i> и внешнего угла <i>D</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого. <div align="center"><img align="middle" src="/storage/problem-media/66402/problem_66402_img_2.png"></div>