Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2-3 с решениями

Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой – в синий, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма растояний от синего столба до белых равна 2008 км.

Высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, проведенные из точек <i>B</i> и <i>C</i>, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Оказалось, что отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол <i>BAC</i>.

Существуют ли числа такие <i>p</i> и <i>q</i>, что уравнения  <i>x</i>² + (<i>p</i> – 1)<i>x + q</i> = 0  и  <i>x</i>² + (<i>p</i> + 1)<i>x + q</i> = 0  имеют по два различных корня, а уравнение

<i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  не имеет корней?

Пройдя ⁴/₉ длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.

<i>M</i> – точка пересечения диагоналей трапеции <i>ABCD</i>. На основании <i>BC</i> выбрана такая точка <i>P</i>, что  ∠<i>APM</i> = ∠<i>DPM</i>.

Докажите, что расстояние от точки <i>C</i> до прямой <i>AP</i> равно расстоянию от точки <i>B</i> до прямой <i>DP</i>.