Олимпиадные задачи из источника «11 класс» - сложность 2-3 с решениями

Какое наименьшее количество клеток требуется отметить на шахматной доске, чтобы каждая клетка доски (отмеченная или неотмеченная) граничила по стороне хотя бы с одной отмеченной клеткой?

Известно, что <i>A</i> – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.

На какую наибольшую степень тройки делится число <i>A</i>?

Две окружности касаются внешним образом. <i>A</i> – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, <i>B</i> – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке <i>A</i>. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки <i>B</i> ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Длина ребра правильного тетраэдра равна <i>a</i>. Через одну из вершин тетраэдра проведено треугольное сечение.

Докажите, что периметр <i>P</i> этого треугольника удовлетворяет неравенству  <i>P</i> > 2<i>a</i>.