Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2-3 с решениями

Двадцать пять монет раскладывают по кучкам следующим образом. Сначала их произвольно разбивают на две группы. Затем любую из имеющихся групп снова разбивают на две группы, и так далее до тех пор, пока каждая группа не будет состоять из одной монеты. При каждом разбиении какой-либо группы на две записывается произведение количеств монет в двух получившихся группах. Чему может быть равна сумма всех записанных чисел?

Высоты <i>AD</i> и <i>BE</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABH</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>G</i> соответственно. Найдите <i>FG</i>, если  <i>DE</i> = 5 см.

В квадратной таблице размером 100×100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

В равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  вписана окружность с центром <i>O</i>, которая касается стороны <i>AB</i> в точке <i>E</i>. На продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>A</i> выбрана точка <i>D</i> так, что  <i>AD</i> = ½ <i>AC</i>. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>AO</i> параллельны.

На рисунке изображен график функции  <i>y = x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что прямая <i>AB</i> перпендикулярна прямой  <i>y = x</i>.

Найдите длину отрезка <i>OC</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64540/problem_64540_img_2.png"></div>