Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружности с центрами <i>A</i> и <i>C</i> проходят через точку <i>B</i>, вторично пересекаются в точке <i>F</i> и пересекают описанную окружность ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Отрезок <i>BF</i> пересекает окружность ω в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.

Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа 99! так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?