Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Квадрат <i>ABCD</i> и равнобедренный прямоугольный треугольник <i>AEF</i>  (∠<i>AEF</i> = 90°)  расположены так, что точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>BC</i> (см. рисунок). Найдите угол <i>DCF</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65514/problem_65514_img_2.png"></div>

В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>O</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>P</i>, а на продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i> – точка <i>Q</i> так, что отрезок <i>PQ</i> касается окружности. Докажите, что  ∠<i>BOP</i> = ∠<i>COQ</i>.

Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?

Известно, что  <i>a</i>² + <i>b = b</i>² + <i>c = c</i>² + <i>a</i>.  Какие значения может принимать выражение  <i>a</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>b</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>c</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)?