Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 8-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

В прямоугольнике <i>ABCD</i> на диагонали <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>CK = BC</i>.  На стороне <i>ВС</i> отмечена точка <i>М</i> так, что  <i>КМ = СМ</i>. Докажите, что  <i>АK + ВМ = СМ</i>.