Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов – белый или чёрный, причём числа 2016 и 2017 покрашены разными цветами. Обязательно ли найдутся три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства  <i>f</i>(<i>x</i> + 2) = <i>f</i>(2 – <i>x</i>)  и  <i>f</i>(<i>x</i> + 7) = <i>f</i>(7 – <i>x</i>).

Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) – периодическая функция.

Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i> с плоскими прямыми углами при вершине <i>D</i>, в которой  <i>CD = AD + DB</i>.

Докажите, что сумма плоских углов при вершине <i>C</i> равна 90°.

Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.

Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?

Вася вписал в клетки таблицы 4×18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из 18 полученных произведений вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?

Имеет ли отрицательные корни уравнение   <i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 9 = 0?