Задача
Вася вписал в клетки таблицы 4×18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из 18 полученных произведений вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?
Решение
Предположим, что каждая из указанных сумм цифр равна S. Так как некоторые из произведений содержат множители, кратные 9, то такие произведения делятся на 9, значит, их сумма цифр также делится на 9. Следовательно, число S должно быть кратно 9.
Таким образом, произведение чисел в каждом столбце должно быть кратно 9. Оно может быть кратно 9 только в двух случаях:
1) если содержит хотя бы один множитель, кратный 9;
2) если содержит не менее двух множителей, кратных 3, но не кратных 9.
Среди чисел от 1 до 72 восемь чисел делятся на 9 и 16 – на 3, но не на 9. Следовательно, произведений, кратных девяти, может оказаться не больше чем 8 + 8 = 16. Но в таблице – 18 столбцов. Противоречие.
Ответ
Не могли.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь