Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 8 класса

Пусть <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC, X</i> – произвольная точка. Окружность с диаметром <i>XH</i> вторично пересекает прямые <i>AH, BH, CH</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, а прямые <i>AX, BX, CX</i> в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Доказать, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i> C</i>₁<i>C</i&...

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках <i>X, Y</i>, расстояние между которыми также равно 1. Из точки <i>C</i> одной окружности проведены касательные <i>CA, CB</i> к другой. Прямая <i>CB</i> вторично пересекает первую окружность в точке <i>A'</i>. Найти расстояние <i>AA'</i>.

В окружности с центром <i>O</i> проведены две параллельные хорды <i>AB</i> и <i>CD</i>. Окружности с диаметрами <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Доказать, что середина отрезка <i>OP</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.

Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.