Олимпиадные задачи из источника «V Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2009 г.)» - сложность 4 с решениями
V Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2009 г.)
НазадДан правильный 17-угольник <i>A</i><sub>1</sub>... <i>A</i><sub>17</sub>. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>4</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>10</sub>, <i>A</i><sub>13</sub><i>A</i><sub>14</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub><i>A</i><sub>6</sub>, <i>A</i><sub>14</sub><i>A</i><sub>15</sub>, равны.
Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>X, Y</i>, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> – проекции <i>X</i> на <i>BC, CA, AB</i>, а <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub> – проекции <i>Y</i>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> на, соответственно, <i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub>, <i>C</...
Через вершины треугольника <i>ABC</i> проводятся три произвольные параллельные прямые <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i>. Прямые, симметричные <i>d<sub>a</sub>, d<sub>b</sub>, d<sub>c</sub></i> относительно <i>BC, CA, AB</i> соответственно, образуют треугольник <i>XYZ</i>. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.