Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 10 класса - сложность 2 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> высота и медиана, проведённые из вершины <i>A</i>, образуют (вместе с прямой <i>BC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>A</i> является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины <i>B</i>, образуют (вместе с прямой <i>AC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>B</i> является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы

∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AA</i>₀ и <i>BB</i>₀ – медианы, <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. Описанные окружности треугольников <i>CA</i>₀<i>B</i>₀ и <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ вторично пересекаются в точке <i>M_c</i>. Аналогично определяются точки <i>M_a, M_b</i>. Докажите, что точки <i>M_a, M_b, M_c</i> лежат на одной прямой, а прямые <i...

Высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i>₁ – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i>₁<i>DM</i> и <i>A</i>₁<i>DN</i&g...

Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = AN = AB</i>  (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.