Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 7-8 класс» для 10 класса - сложность 1-4 с решениями

Из центра окружности выходят <i>N</i> векторов, концы которых делят её на <i>N</i> равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Докажите, что если <i>K</i> чётно, то числа от 1 до  <i>K</i> – 1  можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на <i>K</i>.

На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)