Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 7-8 класс»

В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>AM</i>.

Может ли радиус вписанной окружности треугольника <i>ABM</i> быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника <i>ACM</i>?

Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?

Какую цифру надо поставить вместо знака "?" в числе 888...88?99...999 (восьмёрка и девятка написаны по 50 раз), чтобы оно делилось на 7?

Положительные числа <i>a, b, c</i> таковы, что  <i>a ≥ b ≥ c</i>  и  <i>a + b + c</i> ≤ 1.  Докажите, что  <i>a</i>² + 3<i>b</i>² + 5<i>c</i>² ≤ 1.