Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 4-11 класса - сложность 2-4 с решениями

Окружность с центром <i>D</i> проходит через вершины <i>A, B</i> и центр <i>O</i> вневписанной окружности треугольника <i>ABC </i>, касающейся его стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

На отрезке  [<i>a, b</i>]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: <i>a</i> – синяя и <i>b</i> – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: <i>a</i> – красная и <i>b</i> – синяя?

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:

  а) 700 м?

  б) 800 м?

(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.

Мудрецу С. сообщили сумму трёх натуральных чисел, а мудрецу П. – их произведение.

– Если бы я знал, – сказал С., – что твоё число больше, чем моё, я бы сразу назвал три искомых числа.

– Мое число меньше, чем твоё, – ответил П., – а искомые числа ..., ... и ... .

Какие числа назвал П.?