Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 3-8 класса - сложность 1-5 с решениями

В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>O</i>. Медиана <i>AD</i> пересекает её в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Найдите угол <i>XOY</i>, если  <i>AC = AB + AD</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_108067_img_4.gif">TeX</a></small>

Периоды двух последовательностей – <i>m</i> и <i>n</i> – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Докажите, что для любых положительных чисел <i>а</i>₁, ..., <i>a_n</i> справедливо неравенство

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98245/problem_98245_img_2.gif">

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?