Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число <i>R</i> (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше <i>R</i> от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число <i>r</i> (радиус) и т. д., причём <i>R</i> и <i>r</i> не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зач...

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  угол <i>A</i> равен α. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AD = ^AB</i>/_<i>n</i>.  Найдите сумму  <i>n</i> – 1  углов, под которыми виден отрезок <i>AD</i> из точек, делящих сторону <i>BC</i> на <i>n</i> равных частей:

  а) при  <i>n</i> = 3;

  б) при произвольном <i>n</i>.

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?