Олимпиадные задачи из источника «20 турнир (1998/1999 год)» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Для каждого целого неотрицательного числа <i>i</i> определим число <i>M</i>(<i>i</i>) следующим образом: запишем число <i>i</i> в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то <i>M</i>(<i>i</i>) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).

  а) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ... , <i>M</i>(1000).  Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.

  б) Рассмотрим конечную последовательность  <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ..., <i>M</i>(1000000).  Докажите, что число таких членов последовательности, что  &...

2<i>n</i> радиусов разделили круг на 2<i>n</i> равных секторов: <i>n</i> синих и <i>n</i> красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до <i>n</i>. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до <i>n</i>.

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.

Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Назовём <i>крокодилом</i> шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на <i>m</i> клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на <i>n</i> клеток в перпендикулярном направлении. Докажите что для любых <i>m</i> и <i>n</i> можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в два цвета (для каждых конкретных <i>m</i> и <i>n</i> своя раскраска), что каждые две клетки, соединённые одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.